Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Quelques exercices d'astronomie

Résonances en astronomie

Le problème de Schwarzschild

Résonances en astronomie

Le problème de Schwarzschild

Ébauche en cours

Ici , quelques exercices d'astronomie , niveau licence. Certains exigent déjà des modifications !

Ils sont tous basés sur la connaissance minimale de l'analyse dimensionnelle [ cf OdGL (Ordres de Grandeur Littéraux) et SUN (Système d'unités naturel) et autre dahus de la WP ]. L'article séminal est celui de Weisskopf dans Am.J.Phys. : why the sun shines ?

La notion fondamentale à retenir est :

ce qui ramène tout à une échelle raisonnable est la "constante d'Avogadro stellaire":

N_{0}=[{\frac {\hbar c}{Gm^{2}}}]^{3/2}=2\cdot 10^{57}

: Nombre d'Avogadro stellaire

C'est ce nombre gigantesque qui est sensiblement l'OdG de protons dans une étoile qui fait apparemment rendre toutes les valeurs astronomiques. En fait les grandeurs ramenées à un proton se trouvent dans des OdG Littéraux raisonnables et ne sont plus astronomiques mais bien de l'OdG de la physique nucléaire ; prendre pour "preuve" ce seul exemple : une section caractéristique de la physique nucléaire est 1fm.1fm = 10^-30 m² et le rayon du Soleil au carré R² = (700 000 km)² = 5 10^17 m² : le rapport est donc gigantesque 5 10^47 [ Évidemment, il FAUT justifier le rayon du Soleil, et celui du proton , et pourquoi prendre R²:ro² plutôt que la puissance énième ]

C'est bien là l'utilité principale des dahus (dimensionnal analysis of HEURISTIC unit systems): éviter au maximum l'attitude copernicienne de tout ramener à l'Homme (par exemple le nombre d'Avogadro ordinaire n'est ni grand , ni petit : c'est la taille de ce qui tient dans la main , exprimé en atomes) ou à NOTRE Soleil (étoile TRÈS ordinaire), ou Notre Galaxie, etc. , mais bien au contraire essayer de tout expliquer ("au maximum"), via les constantes fondamentales, caractéristiques du processus.

quelques constantes fondamentales et leurs combinaisons utiles

cette rubrique est là juste pour apprendre à calculer en OdG numérique, et s'étoffera au fur et à mesure de l'enrichissement de cet article.

On peut donc la passer en première lecture.

Exercice Anthropos :

calculer $\hbar c,e^{2},\alpha =1/137,Gm^{2},N_{0},N_{p}N_{0}\cdot \alpha ^{3/2},sqrt(N_{p}),N_{H}$ , avec N_H = nombre de nucléons dans 70kg et comparer à sqrt(N_p).

Exercice Luminosité d'Eddington :

Calculer une luminosité $L_{o}=N_{o}\cdot F_{0}c$ avec Fo la force gravitationnelle entre deux protons distants de ro = d.u[e²,m, c].(Cette luminosité a à voir avec un calcul de luminosité d'Eddington)

Exercice section de Thomson :

la section efficace de Thomson est $s={\frac {8\pi }{3}}r_{o}^{2}$ . Montrer que le temps mis par un photon pour sortir d'un disque de rayon R contenant N électrons et N protons est indépendant de R. !

Souvent en astrophysique , on préfère utiliser l'opacité (s/m) en m²/kg.

En fait celle de Thomson ne joue que pour les étoiles très lumineuses, et en fait , c'est plus une opacité de Rosseland-Gaunt-Kramers (p 274Carroll) qu'il convient d'utiliser dans la majorité des cas. On en verra plus tard la répercussion.

Exercice pic de Gamow(1928):

un paramètre fondamental de la théorie stellaire est la température d'un réacteur de fusion : nous verrons que la théorie de Gamow conduit à l'optimiser (pour la fusion de l'hydrogène) à : kT tel que : f(E) = sqrt(Eo/E) + E/ kT minimum. Montrer que le théorème de Didon conduit immédiatement à une énergie optimale : [ Eo^2.kT/2]^(2/3). Cela conduit ensuite à des calculs de physique nucléaire à environ kT* = 10keV qui sera prise comme référence par la suite [ en fait ces calculs font intervenir à la fois l'interaction faible et l'interaction forte, et il faudrait donc introduire leurs paramètres ici]

Exercice Four isentropique :

montrer que si un four a pour taille R telle que kT.R = cste = $\hbar c\cdot N$ , le nombre de photons qu'il contient est indépendant de sa température.

Solution : N^3/No^2

Exercice Pression :

Évaluer la pression P* = d.u[kT*, hbar,c]; puis évaluer la pression d.u.[G, M , R ] ; prendre ensuite M = mNo. N/No , puis R = Ro M/Mo ; comment varie cette pression centrale avec N ?

Solution : on trouve P = P* (No/N)^2 , avec

P* = kT*^4/hbar^3c^3 = d.u [corps noir]. Il peut sembler étonnant que les étoiles les plus grosses aient une pression au centre plus petite , mais on réfléchira au fait que la densité baisse avec les grosses étoiles (R ~ M !). On peut aussi appliquer brutalement PV = 2N.kT* avec V = Vo (N/No)^3.

A.N. : environ 1 Gbar. Ce qui est très curieux est que la masse volumique reste dans des zones proches de la matière ordinaire : typiquement pour le soleil 2kg/L , et certes 160 kg/L au centre.

Exercice chimie :

cet exercice est du niveau seconde :

Si l'Hydrogène est ionisé , trouver la masse molaire.

Si on désigne par X la proportion d'hydrogène et Y celle d'hélium , trouver la masse molaire.

S on désigne par Z la métallicité (proportion des atomes tels que A = 2Z) , trouver la masse molaire.

Solution :

Échelle des masses stellaires

La masse du Soleil est M = 2 10^30 kg Calculer le rapport M/m où m est la masse d'un proton. Comparer à No

Les étoiles ont typiquement une masse M de 0.1 à 50 No.m , ce qui représente à peine 3 OdG.
Les quantités qui varieront comme M^k varieront donc de (3.k) OdG.

par exemple dans le diagramme de Hertzprung-Russell (Luminosité = f(T de surface) ), la Tde surface varie comme k=1/4 et la Luminosité comme k=3; donc L =~ T^12.

Échelles de temps

Exercice Petit Prince

Le petit Prince est en survol basse altitude de son petit astéroïde ( de rayon R , de masse volumique $\rho$ . Montrer que le temps de révolution est indépendant de R , donc c'est le même que sur Terre , si $\rho$ est le même.

Solution :

$-m\omega ^{2}a=-GMm/a^{2}$ , par la deuxième loi de Kepler. Appliquée à a = R , cette loi donne : $T=2\pi {\sqrt {(}}R/g)$ avec g = GM/R² donc

T_{petitPrince}={\sqrt {3\pi  \over G\rho }}

Résultat : Temps petit Prince

Exercice temps free fall

Par rapport à l'exercice précédent, montrer que le temps d'effondrement , dit de chute libre, d'une boule de gaz de rayon R, de masse volumique $\rho$ , est 1/sqrt(32) du temps précédent.

Solution :

Utiliser le Théorème-remarquable-de-Newton (repris par Gauss) : mr" = GM(ro)/r² , avec r = ro et v= 0 comme C.I. (conditions initiales) , pour tour ro < R .

Via la deuxième loi de Kepler c'est donc un mouvement identique pour toutes les couches (mvt isochrone, auto-similaire), dont la période 2 $T_{free-fall}$ est celle d'une ellipse de demi-grand axe a= R/2 donc période 1/sqrt(8) $T_{petitPrince}$ ; soit :

2T_{free-fall}={1 \over {\sqrt {8}}}\cdot T_{petitPrince}

Résultat : Temps free fall

$2\cdot T_{free-fall}={1 \over {\sqrt {8}}}\cdot T_{petitPrince}$

Exercice échelle de temps : Kelvin-Helmholtz

On prend une étoile standard , le Soleil, de rayon R = 700 000 km , de masse M = 2e30kg ,de température de surface Te = 5800K; à supposer $\rho$ = cste , quel temps a mis l'étoile à acquérir toute son énergie gravitationnelle (depuis la dispersion où R était très grand) en dissipant sa Luminosité actuelle. Ce temps est appelé $t_{K-H}$ .

Solution :

L'énergie gravitationnelle est Eg = -GM²/R (3/5) , donc si R diminue, l'étoile libère de l'énergie , émise par luminosité de corps noir : $L=4\pi R^{2}\cdot \sigma T_{e}^{4}$

d'où le résultat :

T_{K-H}={\frac {E_{g}}{L}}

: Temps Kelvin-Helmholtz

AN : Eg = (3/5).(2/3 e-10)(2e30)²/(7e8) = calculette = 8/35 e42 J et L = 4e26 W : t(K-H) = 2/35 e16 s

l'habitude est de travailler en année (yr) = 3.e7 s soit t(K-H) = 2e7 yr [soit 20 M yr (dixit K-H vers ~1854)]

Or le père de la Géologie , Lyell disait (~1840) que les terrains sédimentaires avaient plus de 500 Myr => contradiction à lever :

cela fût fait progressivement :via E= mc² (1905), Aston (défaut de masse:1919), réacteur nucléaire d'Eddington(1920), effet tunnel de Gamow (1928), cycle nucléaire de Bethe (1938) : donc un certain temps avant de lever cette contradiction. Actuellement , on ne comprend pas encore tout, mais l'essentiel, oui (théorème d'unicité de Russell-Vogt, 1928).

Exercice échelle de temps: t nucléaire

On sait aujourd'hui que la puissance du Soleil vient de la fusion nucléaire (disons pour simplifier : 4p -> He + 2 positons + 2 neutrinos) . Trouver la durée de vie du Soleil , puis d'une étoile plus massive.

Solution :

t nucléaire = E(disponible)/Luminosité = k. (M/m)/ L = 3.2 e17 s =~ 10 Gyr (on a appelé k l' apport d'énergie de fusion par proton,soit 0.007.mc² ; et M/m ~ 1e57 est l'OdG du nb de protons dans le soleil ; la luminosité du soleil est 4. 10^(36) W).

Or L = Lo (M/Mo)^3 et E(disponible) = Eo .(M/Mo) donc

t_{vie}=t_{o}\cdot {\frac {M_{0}^{2}}{M^{2}}}

Résultat : durée de vie

Conséquence : une étoile de 10 Mo vivra 1/100 de 10 Gyr soit 100 Myr : évidemment très peu ! Les étoiles de première génération doivent être peu nombreuses. D'où la nécessité de considérer le problème de la "métallicité " (étoiles de "seconde génération") avec attention.

Remarque : on a pris le coefficient 0.007 correspondant à 4H -> He ; si on avait pris

56H -> Fe, on devrait prendre 0.008 , ce qui n'est guère différent : on se doute qu'après avoir brûlé son hydrogène en hélium, tout se déroulera plus vite : stades stables de combustion entrecoupés d'effondrement-sursauts de Kelvin-Helmholtz.

Exercice échelle de temps: t de sortie d'un photon (Thomson)

On suppose que le Soleil est une boule de gaz ionisé où les photons sont sans arrêt absorbés puis réémis par les électrons avec une section efficace de Thomson ( $\sigma =(8/3)\pi r_{o}^{2}$ avec e²/mc² = ro et e² = q²/ $4\pi \epsilon _{o}$ ).

Ils subissent donc une marche au hasard : quel est le temps de sortie ?

Solution :

la loi de la diffusion est t / $\tau$ = (R/l)² avec l = c $\tau$ = 1/ sqrt(2) n $\sigma$

D'où t = ~ R/c .R/l = R/c . R.n $\sigma {\sqrt {2}}$ = R/c. (ro/R)². N .[(8Pi/3)/(4Pi/3)]sqrt(2)

A.N : =10 000 yr (et ~ 1/R , ce qui est pseudo-paradoxal: réfléchir à ce pseudo paradoxe en 2D par exemple)

t_{sortie}=t_{0}(Ro/R)=~t_{0}.(M_{0}/M)

Résultat : durée de sortie photon

[ si l'on admet qu' en gros R ~ M et non en M^(1/3)]

Si l'on ne veut retenir que des nombres universels , alors $(t_{0}R_{0})={r_{0} \over c}\cdot N_{0}r_{0}$ .

Le problème est que dans la réalité, l'opacité (liée à la section efficace !) n'est pas donnée par la formule de Thomson, mais par la formule de Kramers , plus compliquée.

Élément de réponse au pseudo-paradoxe : dans une forêt 2D , le temps serait proportionnel à la taille au carré , R² et à la densité des arbres : N/ pi R² : donc en 2D , le temps de sortie est un invariant d'échelle.

Échelle de temps de Kramers

C'est plus proche de la réalité : la section de diffusion de Thomson ne convient qu'aux très hautes énergie et densité . Si l'on trace un diagramme la section efficace fonction de kT et pour différentes valeurs de densité, on trouve que pour la Séquence Principale , les deux processus les plus influents sont le brems-strahlung (inverse) et dans les régions externes la photoionisation. La section efficace est nettement plus grande. L'opacité aussi , donc la luminosité sera réduite. Donc la durée de vie augmentée.

Échelle de longueur ; l'uniformité, possible ?

Le Soleil a pour rayon R = 700 000 km ; ce qui est très petit par rapport à la taille du Système Solaire = ~ distance de Oort , et à la distance entre étoiles (~ qq A.L.). Ne pas oublier néanmoins que beaucoup d'étoiles binaires existent , et même des binaires serrées !

Il semble raisonnable d'effectuer une théorie négligeant la rotation du Soleil (si on n'étudie pas l'effet dynamo et le champ magnétique). Par suite, on suppose tout à symétrie sphérique et un seul paramètre comptera : la profondeur :

On compte 0< r < R , à partir du centre.

Peut-on négliger les variations avec la profondeur (càd faire une théorie sans profondeur : tout est uniforme !) ?

Il est évident que si l'on pense que le système est en équilibre hydrostatique dans un champ de pesanteur, le dahus donne P(0) = (GM²/R) /R^3 = GM²/R^4 donc en gros 10 000 fois celle au centre de la Terre, et bien sur P(R) ~ 0 (ne veut rien dire ! mettons qq bars!). DONC , ne pas considérer la profondeur est illusoire. Il faudra écrire les équations radiales.

De même, pour la température , on sait qu'au centre du Soleil se produisent des réactions de fusion nucléaire, et on établira qu'elles se situent aux environ de 10 keV ; alors que la température de surface nous est connue (le soleil est jaune : T(R) = 5600 K = ~1/2 eV : il faudra aussi reconstruire T(r).

Pour ce qui est de la densité et donc de la distance a(r) entre protons, les effets se compensent et les variations ne sont pas aussi extrêmes :au centre une densité de 100 , à l'extérieur une densité de 0.01 : à la limite considérer densité constante ne serait pas trop ridicule.

Afin de mieux se rendre compte de cette notion de profondeur on regardera attentivement la figure de coupe suivante : fig p 42.

La luminosité est 1 pour M(r) = 0.6 , r = 0.3 , T = 1keV-10 keV , rho = 10 (tonne/m^3) et P = 10^15 Pa .

Si il fallait faire une théorie "sans profondeur", ce serait en gros les paramètres à prendre. Il conviendra donc de prendre en compte ce qu'on appelle des "facteurs de forme".

Nous allons donner un exemple simple de gravimétrie terrestre juste pour tester ce que cela veut dire :

la discontinuité de Bullard

L'intérieur de la Terre est "assez bien" connu grâce à la sismologie. Pour mettre en évidence ce qu'est un facteur de forme on va juste tester deux modèles : modèle à une couche : densité constante = 5.5 et modèle simple : g(r) linéaire jusqu'à R/2 , puis constant = go de R/2 à R .

Trouver la pression au centre ?

Solution :

Dans le premier cas , g(r) = gor/R via le théorème de Newton-Gauss . Et P(0) = 1/2 rho.go.R : on a bien GM²/R^4 . coef num.

dans le deuxième cas, puisque g est linéaire, rho est constant et P(0)-P(R/2) = 1/2 rho(0).go.R/2.

Ensuite comme g(r) = cste = go ; rho varie en 1/r comme rho(R).R/r , et on en déduit :

P(R/2) -P(R) == P(R/2) = rho(R).R.go. Ln2 .

D'autre part la masse totale M = M(R/2) + 4pi/3 . rho(R).R^3. 9/8 .

En combinant ces deux équations, on voit apparaître la discontinuité noyau-manteau et malgré tout :

P(0) = GM²/R^4 .coef.num2 .

On voit donc que dans ce cas , les modèles "uniformes" (à une zone) donnent bien des choses "raisonnables".

le modèle archi-simpliste

"À la louche" , en déclarant que l'énergie nucléaire dégagée varie très vite avec T, comme T^n , avec n très élevé , voici ce que le raisonnement d'analyse dimensionnelle "dahus" donnerait :

Réacteur nucléaire de fusion : kT(0) = quasi-constante = 10 keV =kT*;

Hydrostatique : P = Gm²/R^4. N² (1)

équation d'état : P V = 2N. kT soit P.R^3 ~ N. kT(0) (2)

Les équations (1) et (2) donnent :

l'équation très importante, qui va "conditionner" la physique du problème.

kT(0)\cdot a=\hbar c\cdot ({\frac {N}{N_{o}}})^{2/3}

: Relation du viriel

où l'on a pris R^3 = a^3 . N

 *[d'où la pression en 1/N²].

Luminosité :

L=L_{o}\cdot ({\frac {N}{N_{o}}})^{3}

: Luminosité

(voir plus loin : Lo = Gm²/ro².c. No est 3OdG trop grande à cause de Kramers versus Thomson, mais quand même, elle a le mérite de se trouver vers les 10^30 W)

Puis la Température de surface Teff telle que : L = 4pi.R².(U(photons)/V) .4/c avec U/V = a T^4 (cf corps noir) ; donc

T_{eff}=T_{o}\cdot ({\frac {N}{N_{o}}})^{1/4}

: T de surface

L'ESSENTIEL du diagramme Hertzprung-Russell est trouvé :

La température de surface des étoiles ne varie que faiblement d'à peine 1 OdG de 40 000K à 4 000 K (oh be a fine girl , kiss me).
La luminosité de 9 OdG de 10^23 W à 10^31 W

mais on n'attachera pas plus de valeur qu'il ne faut à ce modèle dit "ordre zéro" , car on l'a vu les facteurs de forme sont importants : il importe d'étudier l'étoile dans sa profondeur.

SUN du corps noir

Ce système d'unités naturelles est fondamental ; il est basé sur le dahus d.u.[kT , c et $\hbar$ ] , on en déduit beaucoup de choses.

On demande donc de rétablir d'adord ce dahus :

distance moyenne entre photons d : kT = $\hbar$ c/d , donc n ~ 1/d³

temps caractéristique = d/c

masse caractéristique : kT/c² (ce qui est bizarre pour des corps de masse nulle ! Évidemment, il faut plutôt penser impulsion !)

On en déduit :

U=V.({\frac {\pi ^{2}}{15}})kT.(kT/\hbar c)^{3}=3\cdot PV=(4/3)\cdot TS

Résultat exact : Énergie U corps noir

car l'entropie S est telle que G := U +PV - TS = 0 car potentiel chimique nul :

Il en résulte donc S/k = n.V = Nb de photons.

L'exemple classique est celui de l'extension adiabatique d'un corps noir : Nb de photons reste constant soit V.(kT)³ = cste.

Or dans une étoile, le théorème du viriel conduit à kT. R = cste : on en déduit que le nombre de photons dans une étoile est un nombre universel : cela est évidemment trop simpliste , mais donne l'OdG.

Nb de Photons constant !

Montrer que si kT.a = cste = $\hbar c\cdot ({\frac {N}{N_{o}}})^{2/3}$ , alors le nb de photons dans l'étoile est constant:

N_{photons}=N^{3}/N_{o}^{2}

: Nb de Photons

Pour les $\zeta (s)$ , voir le Landau par exemple.

Effet tunnel de Gamow-Corinne-Wick

En utilisant la symétrie de Corinne (cf la WP), et donc l'astuce de Wick , alors le facteur de transmission d'une barrière est :

T_{GCW}=tt*=e^{-2\pi \cdot n(E)}

: loi de Gamow-Corinne-Wick

avec n(E) = nombre de niveaux d’énergie contenus dans la cuvette de Corinne obtenue par renversement de la barrière (cf la WP et la symétrie de Corinne).

Exemple usuel : Barrière haute de Vo et large de a . Calculer T

Solution : Un puits de profondeur Vo large de a a ses niveaux tels que $E_{n}=\hbar ^{2}\pi ^{2}/2ma^{2}\cdot n^{2}$ donc T = exp - 2Pi sqrt(E/E1) indépendant de Vo si Vo très grand devant E.

Émission de champ de Fowler : un métal dans un champ électrique externe E est photo-émissif: calculer T

Solution :

Appelons le potentiel de sortie Vs : la barrière est donc Vs - q.E.x , avec des électrons au niveau de Fermi; le puits de Corinne est donc un puits de "chute libre , type Torricelli" ; on calcule les niveaux d'énergie as usual : $E_{n}=n^{(}2/3).E_{1}$ d'où T = exp -2Pi (E/E1)^3/2 , dite formule de Fowler.

Pic de Gamow de fusion nucléaire

Deux protons doivent se retrouver très proches (typiquement 1fm) pour fusionner alors que la barrière coulombienne les sépare : calculer T nécessaire. Montrer qu'à 10 keV , il manque un facteur 100 , ce qui est rédhibitoire , sauf à inventer l'effet tunnel (Gamow 1928). En déduire la température de Gamow de fusion.

La barrière devient l'usuel puits coulombien d'énergie $E_{n}=-E_{1}\cdot (1836/2)Z_{1}Z_{2}\cdot A_{reduit}\cdot {1 \over n^{2}}=-E_{1}{1 \over n^{2}}$ ;

d'où T(E) = exp -2Pi sqrt(E1/E).

Ce facteur est d'autant plus grand que l'énergie E est élevée , mais alors le facteur de Boltzmann f(E) intervient comme exp- E/kT :

Au final , montrer que la rapidité de réaction nucléaire varie comme exp - (27Pi E1/kT)^1/3 et calculer cette valeur pour une température de 10k.eV. Montrer que la variation avec la température est assez rapide avec un indice n = 1/3 (27Pi E1/kT)^(2/3). En déduire que brûler de l'oxygène a un indice très supérieur à celui de l'hydrogène. [Dans la théorie "d'ordre zéro" , on a pris cet indice n très grand, ce qui donne la théorie "asymptotique", fausse évidemment, mais qui a le mérite de donner le dahus d'une étoile].

Solution :

il faut trouver le minimum de +2Pi sqrt(E1/E) + E/kT soit sqrt(E*/E) + E/kT donc la dérivée en E nulle : ce calcul donne E = = (E1(pi.kT)²)^(1/3) et f(E)T(E) = exp - (27Pi E1 /kT)^(1/3) dont l'indice est donc n = 1/3 (27Pi E1/kT)^2/3.

admettons que la température d'ignition de fusion de O-O soit 2 fois celle de H-H alors on aura

n(O) = n(H).(1/2)^2/3 . Z1^(4/3) A^(2/3) soit environ 64. n(H) : ce calcul n'est qu'une tendance : plus les éléments sont lourds et plus la puissance du réacteur varie fortement avec la température et plus les calculs se rapprocherons de ceux que l'on a établi pour n asymptotiquement infini.

Exercice : étroitesse du pic

poursuivre le développement pour trouver la largeur du pic de Gamow et montrer son étroitesse.

L'étoile standard

On veut donner ici les OdGL de l'étoile standard de la séquence principale du diagramme de H-R.

Nb d'Avogadro stellaire

Une telle étoile sera considérée comme une boule homogène d'hydrogène ionisé qui ne s'effondre pas grâce à la fusion nucléaire 4H -> He + 2 positons +2 neutrinos. Ce modèle n'est évidemment pas très réaliste car on néglige les gradients (en particulier celui de la température qui décroît en fait de 10 MK à 6000K à la surface).

On prendra le nombre de protons (donc d’électrons) contenus dans cette étoile égal à

N_{0}={({\frac {\hbar c}{Gm^{2}}}})^{3/2}

Enoncé-simplifié : Nb d'Avogadro stellaire

$N_{0}={({\frac {\hbar c}{Gm^{2}}}})^{3/2}$ . Calculer ce nombre , sans doute astronomique , mais bien naturel en astronomie.

En fait l'échelle des masses est très réduite sur 3 OdG de 0.1 No à 100 No , comme on le verra.

Solution : N_0 = {(\frac{\hbar c }{G m^2}})^{3/2}= 2.2 10^57

Une fois ceci admis , les valeurs dites astronomiques seront assez banales.

Viriel

Écrire l'énergie thermique des particules $E_{th}$ , puis l'énergie gravitationnelle par proton $E_{G}$ en fonction de la distance p-p, appelée a , puis la relation fondamentale entre kT et a , en utilisant la relation du viriel.

Solution :

l'énergie thermique est (N+N) .(3/2).kT ;

l'énergie gravitationnelle $E_{G}$ = -3/5 Gm²N/R avec V = Na³ = 4Pi/3.R³

E = - E(thermique) = 1/2 $E_{G}$ d'où -3kT = - Gm²/a N^(2/3)f(A.N.)

on en tire :

E=-kT=-{\frac {\hbar c}{a}}N^{2/3}

Enoncé-simplifié : relation kT-distance

Donc quand l'étoile perd de l'énergie, sa température augmente (on dit capacité calorifique = -3k) et son rayon diminue.
et nous le répétons algébriquement, tant cela peut surprendre : quand l'étoile gagne en énergie , sa température diminue et son rayon augmente.

temps de sortie d'un photon

calcul déjà vu plus haut :

t_{s}=R/c\cdot {\sigma  \over R^{2}}\cdot N=N\cdot \sigma /Rc

Résultat-simplifié : t de sortie

typiquement 10 000 ans alors qu'un neutrino met 2 secondes. Le calcul précédent n'est donc pas exact, puisqu'il donne une valeur beaucoup trop courte : cela est dû à la section efficace beaucoup trop petite , nous l'avons signalé, d'un facteur 1000 (passer de Thomson à Kramers): nous appellerons cette erreur d'appréciation [Kr/Th].

Luminosité universelle

Voici maintenant LE résultat capital de cette théorie simpliste :

le nombre de photons dans l'étoile standard est "universel"
son temps de sortie t est calculé plus haut varie comme 1/R
son énergie émise est environ kT et varie comme 1/R
Alors la luminosité kT/t par photon ne dépend plus de R (donc de T) et la luminosité totale devient un nb universel!

L=L_{o}.({\frac {N}{N_{o}}})^{3}

Résultat-simplifié : Luminosité universelle

avec Lo = Gm²/ro². c . No = 1.6 10^31 Watts : elle ne dépend ni de T , ni de R.

Remarquer la facilité du dahus : force entre deux protons à distance ro . c = Puissance

ce qui rend ce modèle un peu trop simpliste est , nous l'avons vu , que l'opacité n'est pas de Thomson.

Néanmoins, cela donne une première approximation , facile à retenir, trop grande d'un facteur Kr/Th =1/1000. On retrouve l'OdG L = 10^27 W.

Température de Couleur

Oh Be A Fine Girl Kiss Me (de 40 000 K à 4 000 K)

On aura bien sûr L = $4\pi R^{2}\cdot \sigma T_{e}^{4}$ , mais plus physiquement E photons/ t(sortie)= L donc

T_{e}^{4}=(R/ct_{s}).T^{4}

: T de couleur

Pour T(0) = 10 MK = 10k.eV, cela donne environ Te = 10 000K

Durée de vie de l'étoile

la fusion n’annihile pas la matière ! on produit seulement 0.007 Mc² = 0.007 N . mc² : c'est ce que donne le calcul d'Aston basé sur les masses molaires de He et H.

Donc

t_{vie}=[710^{-3}]{\frac {Nmc^{2}}{L_{0}(N/N_{0})^{3}}}=t_{0}{\frac {N_{o}^{2}}{N^{2}}}

: durée de vie

Une étoile normale vit 10 Gyr , une étoile 10 fois plus massive vivra 100 fois moins, soit 100 Myr, ce qui n'est même pas le temps d'une demi-révolution galactique pour le Soleil, ni le temps d'écartement du rift atlantique en géologie !

Réacteur nucléaire

On a vu que la réaction p +p donne e = 0.007 mc² par nucléon ;

Pour obtenir la puissance, il faut une cadence de réaction : on prend la décomposition du neutron k = 1/tau =1/(920s). On suppose que la réaction est simple :

donc Q (N, T) = (e /tau) . nb de cas : le nombre de cas sera nombre de couples distants de ro , soit environ (si population homogène) N^2 (r0/R)^3 ;

Mais il faut multiplier par l'efficacité de Gamow qui ne conduit pas à un facteur d'Arrhénius mais à un facteur de Gamow (cf plus haut).

Compte-tenu de la relation Rayon-Température on aura une puissance en No/N : soit

Q_{o}={\frac {(7\cdot 10^{-3})mc^{2}}{\tau }}No(1836)^{3}\alpha ^{6}

: Puissance du réacteur

Le calcul de Q_o conduit à 7 10^38W ce qui prouve que l'efficacité de Gamow est de l'ordre de 10^(-6).

Q(N, T) = Q_o (No/N) (T/T(0))^6

(on a pris égal à 6, l'indice de l'efficacité de Gamow : ce facteur n'est pas déraisonnable , mais il faut surtout retenir que la puissance d'un réacteur nucléaire croît beaucoup avec kT).

Stabilité de l'étoile

On a donc L(T) = cste (dans ce modèle fruste) et Q(T) très rapidement croissante ce qui donne un fonctionnement stable car E = -3kT et donc -3dT/dt = Q(T)-L ( s'il y a excès de production , immédiatement l'étoile gonfle ET refroidit.

(Attention au raisonnement faux suivant : P= nkT et donc si T augmente , P augmente donc l'étoile se détend et donc se refroidit : cette faute(circularité) a été abondamment commentée dans le "raisonnement linéaire causal" de L.Viennot (LDPES, Paris-Diderot).

Naine brune

Si N est trop petite , les électrons seront dégénérés (mais pas les protons) , il faut corriger la loi du viriel : ${\frac {3kT}{2}}+\hbar ^{2}/2ma^{2}=-{\frac {\hbar c}{a}}(N/N_{o})^{2/3}$ , mais alors si T(a) max est inférieure à l'ignition nucléaire de l'ordre de 1 M K , l'étoile ne s'allumera pas : on parle d'étoile avortée. Or T(a) max a lieu pour kT(a) = mc² (N/No)^(4/3) :

Donc la naine reste brune si N = ~ 0.1 No : Ceci explique qu'il n'y a pas d' étoiles peu massiques .

Masse maximale ?

On ne peut pas non plus avoir d'étoiles trop massiques : un calcul plus sophistiqué que celui que nous allons faire conduit à

N < 50 No

Voici un raisonnement simpliste type dahus :

il faut en réalité compter dans l'énergie de l'étoile , l'énergie des photons (positive).

Si l'énergie du système est positive , il se déstabilise (la pression de radiation aura outre-passé l'attraction gravitationnelle).

Ceci donne -N.kT + N^3/No^2.kT < 0 soit N < No ; le calcul exact donne un facteur 50.

Diagramme H-R

On rappelle que ce diagramme était fondamentalement ce que nous voulions comprendre :

IL est TRÈS ÉTROIT : kT de surface varie en (N/No)^(1/4) à peine d'un OdG : de 40 000K à 4 000 K

et la (luminosité)^(1/3) ~ Masse : ne varie qu'entre No/10 et 100 No.

Conclusion de l'étoile-standard

La luminosité est standard L = Lo (N/No)^3 (trop grande: remplacer Thomson par Kramers).
On se donne un réacteur à 10 M K pour avoir une efficacité de Gamow à 10^-6 .
Un photon met 10 à 100 000 ans. (No/N) à sortir.
La durée de vie est 10Gyr .(No/N)^2.
N ne varie presque pas , de 0.1No à 50.No
La température interne est quasiment toujours la même : 10 M K car Q(T) varie très vite : en fait , elle va dépendre de la "métallicité" , paramètre non pris en compte ici.
Le rayon R de l'étoile est Gm²/kT N = Ro (N/No)[ et non pas (N/No)^(1/3)]
La température de couleur Te est donc Teo .(N/No)^(1/4)

On retrouve donc la pente de la séquence principale (soit L ~ Te^12), "à la louche".

Rien n'est donc astronomique dans tous ces calculs : on raisonne simplement dans le dahus d'étoile-standard.

L'avantage est de n'avoir fait intervenir que les grandeurs fondamentales et pas de paramètres empiriques (avec une petite triche sur le 1000s de l'interaction faible et le 0.007 de conversion nucléaire qui sont contingent à l'électrofaible, et à la loi forte donnant la courbe d'Aston)

la profondeur

Premier problème : la profondeur 0<r<R :Bien sûr , toutes les étoiles ne fonctionnent pas avec la section efficace de Thomson : il faut calculer avec la formule de Kramers.

Alors , il vaut mieux dans ces conditions écrire les vraies équations que nous avons évoquées qualitativement :

l'équilibre hydrostatique -gradP + $\rho$ G M(r)/r^2 = 0
l'équation d'état du gaz de fermions (protons et electrons) parfaits quantiques relativistes (cf Landau :)
l'équilibre thermique div(- K gradT) = Q-nucléaire par unité de volume et de temps

le problème est que Q dépend très fortement de T , et K n'est pas le même en conduction qu'en convection évidemment.

Donc P(r) T(r) rho(r) et trois équations sachant que Q(T) est modélisé et K(T) aussi .

Bien sûr M(R) = M , \rho(R) << rho(0) , T(R) << T(0) ; L(0) = 0 ; M(0) =0; Q(T,r) = [dL(r)/dr]/4Pir² peut être utilisé si on préfère introduire la luminosité L(r).

Ce système s'écrit plus aisément en fonction d'une échelle de r astucieuse (toute fonction croissante convient) : on choisit M(r) telle que dM/dr = 4Pir².\rho(r).

Il ne reste plus qu'à : "faire tourner un programme d'ordinateur".

la chimie nucléaire

Deuxième problème : la chimie , qui n'a pas été abordée du tout ici.

Dès que l'étoile quitte la séquence principale , son évolution sera beaucoup plus rapide (l'énergie de masse varie bcp moins): il y aura une suite d'ignitions à plus haute T , et durée de vie plus rapide , entrecoupée de temps de chute de Kelvin-Helmholtz (cf plus haut) pour monter en Température. Ceci dit , l'évolution conduit à une évolution où l'étoile gonfle énormément (Géantes rouges) et donc Te baisse énormément.

Puis après avoir fait toute cette chimie (nucléosynthèse) en pelure d'oignon , quand le noyau est composé de fer , l'effondrement conduira à une naine blanche : électrons T < T(fermi) dont la durée de vie est >> 10 Gyr.

Si N est rop grand , les protons seront éventuellement relativistes et à cette masse dite de Chandrasekhar , p +e se transformera en neutrons : comme les neutrinos s'évacuent à la vitesse c , l'effondrement instantané conduira à une étoile de neutrons (taille M ~ 1/R^3 !) avec expulsion des enveloppes.

Enfin , si M est encore plus grand , on aura un trou noir : cf cours de R.Générale (le livre de Heyvaerts(Dunod 2006) (ISBN 2-10-049862-2)a été conseillé , mais pour ce qui est de la physique stellaire , le Chandrasekhar reste inégalé ).

Ce dahus reste donc comme tous les dahus : il donne la vision d'ensemble , mais CERTAINEMENT PAS les "détails" qui font que des centaines de chercheurs étudient encore les étoiles dans leur diversité.

Aparté : Planète

On appelle planète un corps pour lequel N << No tel qiue kT max lors de la contraction conduit à kT < E1 de Bohr , or T est max quand a est mini càd au mieux ao de Bohr cela conduit à

N<N_{o}\cdot (\alpha )^{\frac {3}{2}}

Énoncé-simplifié : N d'une Planète

On est alors conduit à étudier le Système Solaire par exemple ou les exoplanètes (cf cours BIBRING).

CONCLUSION

Il reste à traiter :

la profondeur : Lemde-Emde
la chimie nucléaire
l'étude fonction du temps : l'évolution stellaire dans le diagramme H-R.

Mais nous avons déjà la Séquence Principale:

La luminosité est standard L = Lo (N/No)^3 et donne un réacteur à kT = 10 keV pour avoir une efficacité de Gamow à 10^-6 .

Un photon met 10 à 100 000 ans. (Ro/R) à sortir.

La durée de vie est 10Gyr .(No/N)^2.

N ne varie presque pas , de 0.1No à 60.No

La température interne est quasiment toujours la même : 10 M K car Q(T) varie très vite.

Le rayon R de l'étoile est Gm²/kT N = Ro (N/No).

La température de couleur Te est donc Teo .(N/No)^(1/4)

On retrouve donc la pente de la séquence principale (soit -12), "à la louche".

Rien n'est donc astronomique dans tous ces calculs : on raisonne simplement dans le SUN d'étoile-standard.

L'avantage est de n'avoir fait intervenir que les grandeurs fondamentales et pas de paramètres empiriques ( avec une petite triche sur le 1000s de l'interaction faible.

Enfin , si M est encore plus grand , on aura un trou noir : cf cours de R.Générale (le livre de Heyvaerts (Dunod 2006) (ISBN 2-10-049862-2)est bien fait ).

Partie II : la Profondeur et la chimie

l'opacité et la loi de Beer-Lambert

Soit une cuve de largeur a , à travers laquelle on fait passer un faisceau parallèle d'intensité Io , l'intensité à la sortie de la cuve est moindre I1 <Io , car la cuve a absorbé du rayonnement (puis partiellement rediffusé dans une autre direction). Soit I1 = k Io . La profondeur optique s'appelle k En replaçant une autre cuve I2 = k². Io

On en tire que I(z) = Io exp- z/a (Loi de Beer-Lambert): la longueur a s'appelle profondeur d'opacité. Typiquement dans l'eau , au-delà de 20m , il fait plus sombre : c'est le "grand bleu"(en fait le noir !): le milieu est opaque.

Si on met un colorant absorbant , la densité ( la concentration de ce colorant va jouer d'autant plus que les centres d'absorption seront nombreux : soit leur section s , alors 1/a = n.s.

En astronomie , le gaz ionisé va absorber les photons et on note plutôt 1/a = nm . s/m avec s/m, l'opacité en m²/kg

l'opacité de Kramers

Dans le cas d'une étoile, on cherche à savoir comment sortent les photons émis par le cœur thermonucléaire. On parle alors d'opacité $\kappa$ .

Dans le cas de la diffusion Thomson (qui, à plus haute énergie, sera ensuite la diffusion Compton), on considère simplement l'interaction photon-électron, ou photon-proton.

En astronomie, la référence est souvent prise par rapport à la masse du proton, et on parle d'opacité en m²/kg : OdG : $\kappa ={8\pi \over 3}\cdot {r_{0}^{2} \over m}$ , as usual $r_{0}={e^{2} \over mc^{2}}$ . L'application numérique donne 1/2 cm²/g .

opacité de Rosseland

La section de Thomson est indépendante de la Température T , mais le bremstrahlung-inverse intervient aussi ( pour dire vite, le transfert d'énergie entre un photon et un électron est déterminée en diffusion à deux corps ; mais si le proton intervient, alors sa "masse-tampon" permet d'absorber l'impulsion et alors un grand transfert d'énergie est possible. Bien sûr, n'importe quel ion peut aussi jouer ce rôle ; ainsi la "métallicité" va aussi intervenir.

Mais, les régions non ionisées peuvent aussi intervenir.

Au total, on est obligé de prendre une formule assez compliquée, dite opacité de Kramers-Rosseland, qui peut être 4 OdG plus grande que celle de Thomson : $\kappa _{Kramers}=\kappa _{Thomson}\cdot f(\xi ,T)$ ; la dépendance en température est typiquement en T^k avec k = -3.5.

Références : Hahashi( 1962), Exer&Cameron(1963), Icarus1,422 . Voir aussi Monier( ed Ellipses, 2006).

la chimie nucléaire

la courbe d'Aston

le cycle du Soleil, Bethe

En fait la réaction 4H -> He + 2positrons +2 neutrinos n'est pas une réaction simple. Deux modèles prédominent :

Via H + H -> D +e* + neutrino (Électrofaible),D+ H-> He3 , puis He3+ He3 -> He4 + 2H
une petite fraction suit un autre canal (0.1%),passant par Be7 (+H ->) B8 , puis électrofaible -> Be8 , qui se fissionne en 2 He

ou bien le canal(0.9%) via Be7 électrofaible -> Li7 et (+H-> 2He).

le fameux cycle de Bethe où C, N et O n'interviennent que comme catalyseurs : comme tous les cycles , il vaut mieux les écrire en rond , comme en biologie :

C12 (capte H) -> N13 -> C13 (capte H et e-f)->N14 (capte H) -> O15 -> N15

enfin N15 (capte H) -> C12 + He et e-f.

bilan : 4H -> He +2(e-f) : absolument prodigieux d'invention pour l'époque. Hans Bethe(1906-2005) est un des plus grands physiciens du XXeme siècle.

l'énigme des neutrinos

résolue en 2000 , après la mise en œuvre du SNO_Ontario(1998, eau lourde comme détecteur) : oui les neutrinos électroniques oscillent en neutrinos muoniques , etc. ce qui donne une masse faible mais non nulle à ces neutrinos!

le flash de l'hélium

et ensuite jusqu'au fer

Partie III : l'évolution

L'évolution d'une étoile après sa sortie de la Séquence principale est une histoire pleine de péripéties splendides , assez rapides , qui va conduire les plus petites d'entre elles au "cimetière" des naines blanches.

naine blanche

essentiellement un gaz d'électrons dégénérés (kT << kT(fermi) ): donc a = $a={\frac {\hbar }{m_{e}c}}$

masse de Chandrasekhar

évidemment ce calcul est non relativiste : au delà d'une certaine masse proche de No , le gaz est relativiste et n'est plus stable.

Novæ

Mais entre-temps on peut voir des phénomènes grandioses : les novæ , voir les supernovæ , qui , elles-même, sont de deux catégories.

Pulsar

essentiellement , la pression permet à la réaction endothermique e-f inverse de se produire : proton + électron -> neutron +neutrino : l'étoile s'effondre $a={\frac {\hbar }{mc}}$ , donc de taille 1836 fois plus petite qu'une naine blanche ; la densité est évidemment nucléaire, et la taille d'environ 10km ! si son moment cinétique s'est conservé , elle tourne très vite , et le champ magnétique est très élevé : le rayonnement cyclotron des charges produit un gyrophare : d'où le nom "pulsar"

Trou noir

montrer que écrire la loi de Laplace(1796) (V-libération =c) donne le rayon de Schwartzschild) :

1/2 .c^2 = GM/R

Le centre de la Galaxie contient un tel trou noir , très étudié, car les enveloppes astro autour de ce pint sont quasi-concentriques, mais on n'en connaît pas encore bien la théorie (qui relève ici plus d'une théorie des galaxies : cf Binney-Tremaine).

n!

Ayant lu le Solodek (the monodromy group) et le Mermin (boojums), je ne résiste pas à signaler la différence d'approche entre ces deux auteurs de la Formule de Stirling :

n! =~ (n/e)^n .sqrt( 2Pi n). exp (1/12n), et bien sûr est bien marqué =~ et non ~ , car c'est un physicien qui l'écrit.

PSLQ

Ayant lu les Borwein , ilya bcp de choses merveilleuses à rajouter via ces deux livres ainsi que ceux de Crandall, Guy , Plouffe , Engqvist ...

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Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences
voir aussi :

Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences : le système solaire