Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Mouvement dans un champ central

Mouvement de Kepler

Devoir surveillé 3

Mouvement de Kepler

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La leçon {d'agreg} : mouvement dans un champ central est une aberration si c'est pour traiter du mouvement de Hooke ( cuvette V(r) = 1/2 k r²) et du mouvement keplerien ( V(r) = -k/r), car ces deux problèmes sont précisément les deux cas de Bertrand où l'intégration directe est immédiate.

Usuellement , dans la grande tradition française ( du général au particulier ), on traite V(r) puis Hooke et Kepler.

Arnold dit que l'inverse est parfois meilleur.

Introduction : Méthode traditionnelle

À la française, on traiterait donc de

1/. Conservation du moment cinétique et conséquences(mouvement plan , espace des phases R2xR2).

Il suffit donc en sus de L = Lo d'une autre intégrale première fournie par :

2/. Conservation de l'énergie.

Conclusion : le problème est donc intégrable ( à une quadrature près).

On consulte alors le Goldstein pour connaître tous les cas connus d'intégration effective ( via par exemple les intégrales elliptiques ou autres fonctions hypergéométriques).

Cette leçon est déjà amplement traitée ailleurs. Moins connue est la transmutation de la force qui permet de traiter deux cas de V(r) à la fois, et qui permet la meilleure démonstration du théorème de Bertrand.

Encore moins connue est la méthode de Newton-Siacci qui met en œuvre les vrais paramètres du problème : la distance radiale r(ou 1/r) et la vitesse v := Co/p , p = OP étant la longueur de la podaire de la trajectoire vue de O . À une rotation de 90° près, l'hodographe est en correspondance avec l'inverse (inversion de centre O) de la podaire ( vue de O) de la trajectoire. Et réciproquement.

Nous placerons en "discussion" des compléments "culturels".

On ne lit que trop peu la seconde section du de Motu, Livre 1 , portant sur :

de la recherche des forces centripètes

C'est ce regard que nous allons porter dans cette leçon : apprendre les sciences à travers les textes n'est pas inutile : cela permet d'appréhender une autre façon, certes de façon plus sophistiquée, de traiter un pb.Il se trouve que ces regards croisés sont ferment de "trouvailles".

Rappel de géométrie : les podaires

Le théorème de Siacci et l'accélération de Siacci contiennent l'essence de cette leçon.

Rappel :

${\vec {\gamma }}=-{\vec {u}}\cdot {\frac {C^{2}dp}{p^{3}dr}}+{\vec {V}}{\frac {C{\dot {C}}}{C^{2}}}$

donc dans le cas central :

${\vec {\gamma }}=-{\vec {u}}\cdot {\frac {C^{2}dp}{p^{3}dr}}$

La démonstration, dans ce cas dit de Newton-Siacci, est aisée, via Leibniz (!!) :

le travail de la force est F(r).dr .

Le théorème de Leibniz sur la force_vive donne :

F(r).dr = d( 1/2 m v^2) avec v^2 = C^2/p^2 ; d'où le résultat.

méthode de Newton

biblio : p33 de la marquise et la courbe "funiculaire" p.34.

regarder en correspondance le Chandrasekhar: p64 §20 : LA FIGURE (à adapter à la terminologie française)

L'article de Pourciau(Arch Hist Exact Sc 44(1992)125,146).

ébauche de leçon :

I. Conservation du moment cinétique; vitesse aréolaire :

1/. Symétrie centrale : Le théorème du moment cinétique donne ${\vec {L}}={\vec {cste}}$

soit $r^{2}{\dot {\theta }}=C_{0}$

2/. Conséquence 1 : le mvt est dans LE plan perpendiculaire en O au moment cinétique :

l'espace des phases est réduit à $\mathbb {R} ^{2}\cdot \mathbb {R} ^{2}$ . (La conservation de l'énergie donne une autre intégrale première : donc le mvt est intégrable).

3/. Le cas C = 0 ne sera pas étudié. Si petit soit-il, on peut le prendre positif.Il existe donc une barrière centrifuge en mC^2/2 r^2 qui empêche la particule de tomber sur le centre si la force n'est pas en 1/ r^n (n>ou = 3): il existe donc un cercle péricentrique d'où est exclue la trajectoire dans ce cas.Exit(provisoirement) la singularité r = 0.

4/. vitesse aréolaire : 2ème loi de Kepler ! toutes ces vitesses donnent le même temps ABSOLU : le temps newtonien

theta est fonction croissante de t : l'apside constitue donc une échelle de temps (penser cadran solaire : voir exercice de mouvement keplerien ). On pourra déterminer la trajectoire et/ou le mouvement sur la trajectoire.

5/. la trajectoire aura toujours sa concavité dirigée vers le centre.

6/. comme c'est r^2 qui intervient, l'axe péricentrique sera axe de symétrie : si entre deux positions péricentres l'angle/pi n'est pas un rationnel, la trajectoire ne pourra pas se refermer : courbe en rosette ; sinon , ce sera une rosace : Newton passe bcp de temps sur ce problème, car il doit répondre à Hooke ( la controverse dite du 2pi/3 ).

5et6/. Cela permet des tas de considérations sur les "orbes concaves" , dues à Clairaut, Euler, Legendre, Hamilton, Maxwell et Minkovski : en particulier sur les podaires.

II. podaires :

Il existe des ouvrages entiers sur les podaires ; la culture en 2008 est plutôt pauvre, sauf si on a eu besoin de la concavité et de la transformée de Legendre.

LA figure à bien mémoriser est celle du Chandrasekhar, p.64.

.L'accélération de Newton-Leibniz-Sciacci est :

$\gamma {\vec {u}}=C^{2}{\frac {d(1/p^{2})}{dr}}{\vec {u}}$

de démonstration évidente : F(r).dr = m.v.dv

1/. Conséquence : l'orbe donne par sa podaire p= f(r) la résolution du problème direct : connaissant l'orbe ET le centre , trouver la loi de force.

2/. Conséquence 2 : assez mal connue, et pourtant combien importante, quand on n'a que l'orbe sous les yeux : autant de centres , autant de lois de force : c'est le problème de la transmutation de la force

3/. Conséquence 3 : évidemment, si on connaît de plus le mouvement, on aura le centre de force. Newton va, là encore, consacrer beaucoup de pages à cette détermination du centre.

4/. Consulter le Pourciau pour litaner tous les cas de podaires ( quasiment plus de la moitié se trouvent dans les Principia.

5/. La LINÉARITÉ de [F = m . a] entraîne le "théorème de Newton-Binet" : on peut obtenir certaines orbes du problème à plusieurs centres : il "suffit" d'ajouter les énergies cinétiques !

CONCLUSION :

Certes, cette leçon convient plus au problème direct qu'au problème inverse, dit de Cauchy.

Se priver de l'énergie cinétique est un manque , et la notion d'énergie radiale effective est importante ( surtout ensuite en mécanique quantique des atomes ).

Par contre, se concentrer sur le problème direct et la podaire amène à la transmutation de la force, qui est certainement ce sur quoi s'est appuyé la force de conviction de Newton : Hooke avait raison, mais LUI, NEWTON, le démontrait.

Ce qu'on ne comprend pas très bien, c'est pourquoi Newton "passe à côté" du théorème des forces vives de Leibniz : point historique à creuser.

EXERCICES :

Relever dans le Mantion, etc. et les Principia, les cas évidents par la méthode de la podaire.

Conclusion

Porter un autre regard permet de mieux comprendre la pensée de Newton et comment cela retentit sur la rédaction des Principia. Sinon la rédaction paraît très embrouillée ; en réalité, c'est simplement que la culture a évolué et que publier d'un seul coup toute la mécanique comme nous l'enseignons au {XXI} était impossible : tout auteur est immergé dans la culture de son époque. ne pas confondre philo et onto : on af-baf-cafffouille , le cheminement historique n'est pas un long fleuve tranquille.

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