Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/La gravimétrie

La gravimétrie est, à elle seule, un corpus très important de connaissances, tant du point de vue de la théorie que des applications. La loi d'attraction universelle de Newton (1687) étant identique à celle qu'énoncera plus tard Coulomb pour les charges électriques, gravimétrie et électrostatique sont du point de vue théorique isomorphes. On pourra aisément translater les résultats de l'une vers l'autre : il suffit de transposer q -> m et $1/4\pi \epsilon _{0}$ -> -K (avec K la constante de Cavendish).

K = 6.67 408(31) 10^-11 S.I. ( Kmm'/d² est une force ). . (pour mémoire : M(Terre)= 5.972 10^24 kg . La masse du Soleil est ~ 350 000 M(Terre). La masse de la Lune ~ 1/81).

Électrostatique, rappels

Il existe d'excellents livres d'électrostatique : citons

le Jackson , LA bible
le Smith : bourré d'exercices, y compris par CAO
le Durand : toutes les figures y sont.
le Alexeev : si vous faites tous les exo, vous serez au point.

Cela n'empêche pas de lire le Feynman, le Berkeley, le Landau.

Le Kellog est LE livre orienté théorie du potentiel, et le travail de Poincaré.

À un plus haut niveau, Doob montre que le Laplacien et la marche brownienne avec absorption sur les bords c'est ~ pareil. Suivent alors tous les livres de "théorie du Potentiel" (Séminaire Brelot,etc.)

Ne suivent ici que les rappels de [bac +1 ]

Champ et potentiel

Flux du champ E et théorème de Gauss

Mémento des formules usuelles classiques

Dipôle et multipôles

Gravimétrie

Champ, Potentiel, Théorème de Gauss

Mémento des formules classiques

Il convient surtout de remarquer que si l'on possède GM (la constante de Gauss) avec une précision de 10^(-13), on connaît très mal G ( la constante de Cavendish) avec une précision de 10^(-5) et encore pas pour les petites distances.

Exo : soit une plaque uniforme de masse volumique $\rho$ ; de part et d'autre de la plaque la pesanteur varie de Delta_g. On déplace la plaque au-dessus puis au dessous d'un sakuma. Sachant qu'un sakuma est précis à 10^(-13) évaluer l'épaisseur de plaque nécessaire.

Exo : soit un volcan conique sous-marin affleurant la surface, d'angle au sommet_O, $\alpha$ :les marins savaient très bien que la mer n'était pas plate au voisinage de O (la carte du ciel se modifiait ! ). Dessiner la mer au voisinage de O ( on posera h= 4km , alpha = 30°, la masse volumique : 3kg/L ).

Exo : Turcotte est LA référence.

La Terre, niveau élémentaire

le Diament, le Moritz, le Radix ,le Torge,les Levallois et les Melchior etc. vont nous servir.

Les références usuelles

~Boule :

Circonférence : 40 000 km ( ancienne définition du mètre )

Masse : tq masse volumique =(1+10)/2= 5,5 kg/L . Plus exactement : 5.972 10^24 kg . ( mal connue à cause de la mauvaise connaissance de K. Ce qui est bien défini est le produit KM, la constante de Gauss ).

se comporte donc comme un point massique pour l'extérieur (théorème "remarquable" de Newton,1685):

g = ~ KM/R² = ~9,8 m/s²

Le champ de pesanteur

Il faut rajouter le fait que la Terre pivote : champ de force axifuge dont le potentiel vaut : $-{\frac {1}{2}}m\Omega ^{2}({\vec {HM}}\cdot {\vec {HM}})$ . Donc g varie avec l'altitude, et la latitude ( pas avec la longitude si symétrie sphérique); mais il ne faut pas oublier que la Terre sur les temps géologiques s'est mise en isostasie et donc a pris, en gros, la forme d'une galette très peu aplatie, de champ G(M), légèrement différent d'un champ central à cause du bourrelet équatorial ( 40 021km)[anecdote : le Mississipi coule en s'éloignant du centre de la Terre !]. Il en résulte donc que g(Pôle)= 9,78 < g(Equateur) = 9,82 m/s².

LE paramètre important, sans dimension est ici $m=\Omega ^{2}R/g=~1/17^{2}=1/289$

Exercices, niveau bac+2

La Terre tournait plus vite il y a longtemps. Si elle tournait 2 fois plus vite, quelle valeur donneriez-vous à g(équateur) ?

soit un Globe sphérique de rayon R et tournant 17 fois plus vite que la Terre : dessiner les équipotentielles dans un plan méridien : montrer que les arbres donneraient la direction du Nord, que les lacs aussi ( par leur perpendiculaire) !

soit un objet lancé au pôle nord du globe précédent avec la vitesse sqrt(gR): mouvement? mouvement par rapport au sol? Montrer que la trajectoire projetée sur l'équateur est un cercle.

La cause de la marée, la marée "statique"

qq références

Bernard Simon,(2007), la marée océanique côtière ,ISBN 978 2 903581 32 9 , SHOM.

Bouasse, Houle, seiches et marées. ( existe pts amphidromiques )

Poincaré, théorie des marées, in méthodes de la mécanique céleste.( Existe th des points amphidromiques ).

Marchuk & Kagan, dynamics of ocean tides, Kluwer 1989, ISBN 90 277 2552 7. Très complet. En particulier, sur la dissipation d'énergie.

Bruce Parker,tidal hydrodynamics, Wiley 1991. Recueil d'articles , assez complet.

Open University Course : waves, tides ans shallow-water processes,1989, 0 08 036371 7, in les 7 tomes consacrés à l'océan : cours ayant pris le parti d'être au niveau zéro-culture math. Donc soigné dans l'élaboration des explications théoriques. Mais malheureusement, il se trompe. Pas si facile d'essayer une explication qualitative. L'erreur ici est de se référer à un mouvement circulaire de la Terre, qui n'a rien à faire ici. Le mot juste est mouvement relatif à T , en translation accélérée.

Wunsch,physical oceanography,2015, Princeton UP, 978 0 691 15882 2, magnifique présentation, MAIS peu clair sur les marées, car toujours cette force centrifuge, hélas !

Yanagi,coastal oceanography, Kluwer 1999, petit ouvrage, tout de suite concerné par l'amphidromie et les équations. À re-consulter.

Melchior, pour les marées terrestres et le nb de Love. ( plus tard ).

Odile Guerin, tout savoir sur la marée, Ouest.fr , bien sauf l'explication par force centrifuge. Donne l'essentiel des éléments de compréhension, logiquement.

Revault d'Allonnes,la marée océanique, bien pour la règle de Proctor.

SHOM, Guide du navigateur : une explication simple mais correcte de la marée.

Je reste étonnée, après relecture de Newton, Principia, chapitre marées, de voir toutes ces explications qui confondent : mouvement relatif à T en translation circulaire, et stupidement confondu avec force centrifuge . fin provisoire de cette recension biblio.

La marée est l'élévation périodique du niveau de la mer : le flot conduit de la marée basse à la marée haute, l'estran est envahi par l'eau de mer. Le jusant a contrario découvre l'estran lors du reflux. Sur les côtes de la Manche, le marnage ( différence entre le niveau haut et le niveau bas ) peut être important (7 m à Brest, plus de 10 m en baie du Mont Saint-Michel) et induit des forts courants. Il faut s'en aviser : entrée dans les ports, ports d'échouage ou ports de pleine eau, utilisation de l'énergie marémotrice dans le barrage de la Rance, etc. Le SHOM, en France, reste LA référence pour l'activité maritime. La marée en Bretagne est due surtout à l'onde M2 (cf. plus loin), soit deux fois par jour lunaire (un jour lunaire fait 24 h 55 min en moyenne). La marée se décalant chaque jour, il convient de se munir d'un annuaire de marées.

La cause de la marée est due à la Lune et au Soleil (et aucun autre astre !). Cela fût expliqué par Newton en 1687. C'est un joli exercice de gravimétrie. La force de marée d'un Astre n'est pas sa force d'attraction gravitationnelle, mesurée par ${\vec {g}}_{Astre}(M)=K.M_{A}{\vec {AM}}/AM^{3}$ , mais seulement la très petite différence entre l'action sur l'élément d'eau entourant le point P étudié à la surface de l'eau ET l'action de l'astre au centre de la Terre , disons le point T , car ce qui est étudié est le mouvement de P RELATIVEMENT à T , et il convient donc de décompter l'accélération de T due à l'Astre. D'où le résultat de Newton : l'action de marée est le champ résiduel ${\vec {g}}_{A}(P)-{\vec {g}}_{A}(T)$ , qui serait nul si P était en T, et qui est tout petit puisque P est tout près de T ( on note que la surface de l'eau est à 6400 km à peine de T, alors que TS = 1 U.A. := 1 Unité Astronomique := ~ 150 000 000 km , donc TP << TS ). En pratique, on considère qu'il est suffisant de considérer l'approximation du premier ordre : ${\vec {g}}_{A}(P)-{\vec {g}}_{A}(T)=g_{A}^{'}(T).{\vec {TP}}$ , où g' est la dérivée de g, c'est à dire l'application linéaire tangente au point T. Il résulte que l'action de marée d'un Astre est non seulement à symétrie de révolution autour de l'axe TA de la figure, MAIS AUSSI à symétrie plane selon le plan équatorial, càd LE plan équatorial perpendiculaire en T à l'axe TA. Par ailleurs cette action est très faible ( sous-entendu par rapport à g, la pesanteur terrestre ). Ce sont les deux corollaires fondamentaux de la théorie de Newton. Nul avant lui n'avait su expliquer ces deux propriétés. On a pris l'habitude conventionnelle de représenter l'action de marée par une hauteur h(P) reliée au potentiel de la force de marée V(P) par : g h(P) = -V(P ), et bien sûr V(P) est quadratique en \vecTP . Tous calculs faits, on obtient :

$h(P)=R.{\frac {M_{A}}{M_{T}}}{\frac {R^{3}}{d_{A}^{3}}}.{\frac {r^{2}}{R^{2}}}.{\frac {3cos^{2}\theta -1}{2}}$

soit, si &#theta = 0 ou Pi , h = 20 cm , pour le Soleil.

Cette formule met en évidence le fait que la force de marée agit par un facteur M_A / (TA)^3 : La Lune bien que beaucoup moins massique que le Soleil, agit néanmoins car sa distance à la Terre, TL est bien moindre : TL ~ 60 R . Il en résulte que l'action de marée est deux fois plus forte : h ~ 40cm . Il en résulte aussi qu'aucun autre astre ne peut agir.

Les gravimètres

le pendule de Kater

Longtemps le pendule pesant a servi à mesurer g(M).

Le pendule de Kater ou pendule réversible est une barre pesante avec deux couteaux symétriques par rapport au centre G de distance AB = l = longueur du pendule simple synchrone. En fait A et B sont deux couteaux aussi aiguisés que possible ( calcul du rayon de Hertz possible), et une bague( ou 2) permettent de régler au mieux G de façon que T(A) = T(B) si on "renverse le pendule". On obtient au mieux une précision de 10^(-6).

Exercice : cf AmJPhy.

l'expérience de Newton

Il est remarquable que la masse pesante et la charge gravitationnelle s'éliminent toujours des calculs, quel que soit le matériau : Newton a passé beaucoup de temps à vérifier ce phénomène, énoncé par Galilée.

De même , en chute libre ( càd en ayant éliminé la résistance de l'air) , une plume tombe aussi vite qu'un plomb ou un platine ou un platane : dès que Newton eût à sa disposition une machine à faire le vide, il s'empressa de faire l'expérience , fort spectaculaire à vrai dire ! On peut la voir dans de multiples musées. Sinon un tube de verre de 2m de long, phi = 5cm, fait l'affaire.

les sismographes

Grosso-modo, supposons que l'on maintienne un éléphant en suspension statique : quand la Terre vibre, la capacité électrique entre ses pieds et le sol varie et donne donc le mouvement du sol.

En pratique, on suspend une grosse masse au bout d'un ressort de raideur quasi-nulle ( mais évidemment , par une astuce technologique, on élimine l'allongement statique du ressort).

Exo : Ulm 1973

les gravimètres "Sakuma"

En 1970, Sakuma a l'idée de refaire l'expérience de Newton avec un coin de cube, servant de 2ème miroir d'un Michelson : Quand le coin de cube tombe, on enregistre le défilement des franges : cela donne g avec une précision fantastique ~10^(-12)

Exo : Capes 1982

Les appareils actuels sont dérivés du Sakuma et donnent la même précision absolue. Mais cet équipement est cher et requiert une "base" géodésique précise.

L'intérieur de la Terre et Bullard

On se doutait bien que la Terre avait une masse volumique $\rho (r)$ qui décroît avec la distance. Bullard est le premier qui déclare qu'elle le fait avec une discontinuité nette au niveau Noyau - Manteau.

Aujourd'hui, on sait évaluer grâce à la sismologie, la masse volumique. Mais le petit exercice suivant donnera le principe du raisonnement de Bullard :

Soit une boule sphérique de rayon R ,non homogène, dont on connaît g(r) :

de 0 à R/2, g(r) =g(R)r/R ;

de R/2 à R , g(r) = constante = go

Montrer qu'il existe une forte discontinuité en R/2 Calculer le moment d'inertie de ce Globe.

Gravimétrie et Géodésie

La gravimétrie est l'étude du champ de pesanteur terrestre : si la Terre était recouverte d'eau, sa surface serait une équipotentielle du champ de pesanteur et le problème serait réglé.

Mais les continents plus légers flottent sur l'asthénosphère et émergent des océans : il faut établir les cartes donnant la distance au "centre" en fonction de la latitude et la longitude du point M ( encore faut-il savoir évaluer ces trois paramètres : c'est l'objet de la géodésie qui va faire au mieux ( où est le "centre " de la Terre, où est l'axe des pôles ), en geo-dein ( parcourir la Terre en la mesurant et en utilisant au mieux les données gravimétriques : croiser ces deux fichiers de data n'est pas si facile.

La figure de la Terre, références

la figure de la Terre, actuelle : le géoïde

Les mesures géodésiques actuelles

la grande échelle

Les satellites ( en gros 2000 actuellement) évoluent dans le champ g de pesanteur si on considère la Terre pivotante, ou dans le champ de Gravitation pour une Terre géocentrique : il faut alors décompter les effets différentiels de la Lune et du Soleil + toutes sortes de perturbations.

Pour observer la Terre, on prend des satellites type GPS (h =~10 000 km), mais surtout des satellites géodésiques ( starlette est un précurseur ; les GEOS sont plus gros ; Grace et plus tard Goce sont encore mieux dédié à la gravimétrie.

On espère connaître la Terre avec un maillage de 50 km d'ici une décennie.

la petite échelle

Au sol, les maillages peuvent être aussi denses qu'on le veut : les métrés cadastraux peuvent en différentiel se faire par GPS ; ce qui complète utilement les relevés de géodésie.

La France a confié au LAREG cette prestation , les data pouvant être délivrés par l'IGN : on connaît les prestations de SPOT , mais un SIG-MNT est encore plus impressionnant car on y voyage en 3D.

Il reste à couvrir le sous-sol : quant il y a lieu, de superbes MNT sont établis (études pour enfouissement des déchets, impact d'un barrage, etc. ).

l'intégration des données

On a donc deux descriptions de la Terre :

par satellite , avec des mailles très larges ( on essaie d'atteindre 100km : Ylm jusqu'à l =40, soient 1600 coefficients!)
au sol , par un réseau de mailles très petites, mais qu'on a du mal à raccorder d'île en île, puisque les mesures en littoral sont mauvaises ( pas si facile en Bretagne d'avoir l'altitude sachant qu'il faut faire la part de la marée océane et de la marée terrestre).

De plus l'Océan antarctique est très mal connu.

Le problème, en 2008, est de fusionner les 2 types de fichiers "au mieux".

Signalons cependant que si la Recherche veut se focaliser sur le voisinage d'un point du Globe, elle peut obtenir des résultats remarquables ( on voit la marée Terrestre ! ).

Ce qui peut paraître surprenant est que l'on n'a pas réussi avec le "centre G " de la Terre : 20 cm restent la limite , en 2008.

la dérive des continents et Wegener

Heureusement, les mesures GPS et bientôt les mesures Galileo donnent des variations millimétriques en différentiel : par exemple l'ouverture des Afars se mesure très bien.

Pour la Pacifique ou de continent à continent, on ne peut opérer qu'en mesure absolue. Néanmoins on dispose de beaucoup de points : la dérive des plaques de Wegener est parfaitement vérifiée avec quelques corrections de visco-élasticité et de plasticité, pour les prismes d'accrétion ou les zones de subduction.

Il faut aussi prendre en compte la déglaciation à l'holocène (disons depuis la dernière déglaciation il y a environ 12000 ans) des boucliers canadien et scandinave. Ce soulèvement appelé rebond glaciaire est difficile à extraire des données compte-tenu des mouvements convectifs donnant lieu à la dérive des continents. On sait très bien voir g(t) variant avec la Lune et le Soleil et + la rétroaction des marées, mais aussi les variations de l'atmosphère sont à prendre en compte à ce niveau de précision ( un gros cyclone tel Katrina apparaît dans les mesures, de même qu'un séisme type Sumatra-2004).

Il reste à les prévoir : disons dans quelques décennies ?

Les progrès accomplis en 50 ans ( spoutnik : 1959) sont époustouflants et raviraient Aristarque, Ben Musa, Newton, Clairaut, Airy, etc.

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