Mécanique, enseignée via l'Histoire des Sciences/Diagramme horaire

La chute ralentie sur plan incliné (suite)

Plan de phase

La chute ralentie sur plan incliné (suite)

Plan de phase

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On considère un point se déplaçant sur une courbe. On repère la position de ce point à une date t, par son abscisse curviligne s(t). En cinématique, le graphe [t,s(t)] s'appelle diagramme horaire du mouvement.

On s'en sert utilement pour les croisements des trains et l'évaluation des correspondances ou les aiguillages.

En outre, il est essentiel de bien comprendre la différence entre la donnée de v= f(t) ou de v=g(s).

Croisements

*Le TGV

c'est un exemple classique: le TGV fait Paris-Marseille en 3H 05min avec 05 min d'arrêt à Avignon;

et le TGV Marseille-Lyon-Paris en 3H 10min avec 10min d'arrêt à Lyon.

On se demande où et quand se croisent le train T1 et le train T2 sachant que T1 part à 15H et T2 part à 16H.

Réponse: le diagramme montre que les arrêts ne jouent aucun rôle dans ce problème : les trains se croisent donc à 17H, à Valence, ville telle que Paris-Valence=480km, Valence-Marseille=240km.

Il existe multitude de problèmes de même sorte dans les recueils de préparation au Certificat d'Études Primaires.

*La jonglerie

Un cas un peu plus difficile est celui-ci:

Un jongleur lance verticalement la balle B1 qui monte à la hauteur H.

De l'autre main , il lance la balle B2 d'un mouvement identique, juste au moment où la balle B1 commence à redescendre:

où se croisent les balles?

La réponse est : à (3/4) H car le croisement aura lieu à la moitié du temps de descente de la balle B2 (il suffit de tracer les 2 diagrammes horaires, pour s'en assurer). Ceci était l'exercice d'une précédente leçon.

La cinématique de la jonglerie est un joli exercice de permutation entre les différents mouvements de mains et de balles.

Les trains de Foucault

Cet exemple est célèbre, car il permet de voir "tourner la Terre" (cf pendule de Foucault), sans regarder les étoiles, mais simplement en regardant un phénomène cinématique interne au référentiel Terre. Pour simplifier l'explication, nous supposerons l'expérience faite au pôle Sud S: sur deux voies circulaires, centrées sur l'axe des pôles, circulent deux scooters des neiges de même vitesse angulaire ABSOLUE, $\omega _{o}$ (par rapport aux étoiles, par conséquent), mais l'un vers l'Est et l'autre vers l'Ouest. Ils se croisent en un point qui dérive continuellement vers l'Est, et qui fait 15° par heure, c'est à dire un tour par jour. Pour s'en convaincre, refaire le raisonnement en Arctique, au pôle Nord.

D'autre part, les traces des 2 scooters ne seront pas les mêmes : ce qui est une preuve évidente de la Rotation terrestre car, par rapport au sol de la Terre qui tourne, leur vitesse n'est pas la même :

$\omega _{1}:=\omega _{o}+\Omega _{T}\cdot ;\cdot et:\omega _{2}:=\omega _{o}-\Omega _{T}$ , en particulier on peut prendre pour le deuxième scooter une vitesse relative de rotation infime : il creusera beaucoup moins la neige sur le bord intérieur.

Aparté:Complément de plaidoyer en faveur de Galilée :

Galilée croyait que la Terre tournait: il fut condamné par l'Inquisition à abjurer le 22 juin 1633;

Or évidemment , on peut reprendre le même raisonnement à l'équateur. Dans le cas balistique, il est clair qu'envoyer , par rapport à la Terre, un obus vers l'Est avec la vitesse 8.2km/s lui permet de décoller (certes péniblement :). Envoyé vers l'Ouest, ce même obus s'écraserait au sol. La différence de vitesse +/- 0.464 km/s fait la différence. En appliquant les formules de Kepler, le calcul donne :

vers l'Est, ellipse de grand axe 2a = 2R.(1.32), soit une apogée à une altitude H =0.64 . R

vers l'Ouest, ellipse de grand axe 2a = 2R.(0.814), soit un périgée à une altitude négative H = - 0.372 . R

Il n'y a pas Equivalence des Hypothèses ! L'Église a menti effrontément très longtemps ; en fait, elle a délibérément menti dès que la déviation vers l'Est fût comprise

Plus tard, le raisonnement dans le référentiel Terre, correctement mené avec force centrifuge et force de Coriolis, nous donnera le même résultat. Car on montre que vers l'Est, la force de Coriolis soulève l'obus. Vers l'Ouest, la force de Coriolis "force" sur le satellite vers le bas.

Donc, La Grosse Bertha aurait dû tirer sur Paris à partir de Pontoise plutôt que de Meaux !

Et Mersenne eût été plus inspiré de tirer d'une éminence son boulet vers l'Est, puis l'Ouest et de comparer (cf boulet de Mersenne): cela a d'ailleurs été fait par Tartaglia au XVIe, mais sans théorie!(et sans résultat!).

En tout cas, de Kourou ou du cap Canaveral , on lance les fusées vers l'EST : autant profiter de ces 464 m/s , "offerts" par le pivotement terrestre.

Il est étrange (en 2005 !), de penser que Galilée n'ait pas su convaincre les juges de Rome. Quoi qu'en dise Minois (Galilée et l'église, un malentendu), l'Église a dû être prise à contre-pied dans sa contre-réforme , dominicains et jésuites unis. Gassendi, le père minime Marin Mersenne (1588-1648), et bien d'autres certes, l'ont désavouée, mais sous le manteau. Descartes, très lâchement, ne fera pas connaître sa position, une fois Galilée condamné.

Fin d'aparté ]

Distinction v(t) et v(s)

Le problème n'est pas le même sur une route, si on relève

la vitesse en chaque lieu v(s) ou
la vitesse à chaque moment v(t).

Cas v(t)

Dans ce second cas(le plus facile), on trace la courbe v(t) de t=0 à to. L'aire sous la courbe donne l'espace parcouru s(to):

Exemple de Galilée: si la vitesse augmente linéairement v(t) = gt , le déplacement sera s(to) = to*gto/2 (aire du triangle rectangle); soit s(t0) = 1/2 g to^2: le mouvement est dit uniformément accéléré.

Cas v(s)

Dans ce cas, on parle de diagramme des espaces : il faut considérer que, pendant un petit chemin ds , le temps dt mis pour le parcourir est dt = ds/v(s).

Il faut donc sommer tous les dt pour obtenir la durée du parcours(de s=0 à so). Il faut donc tracer 1/v(s), et prendre l'aire sous la courbe, qui cette fois sera un temps.

Si l'on reprend l'exemple précédent, il faut utiliser la formule de Torricelli : v(s) = sqrt(2gs); donc ds/sqrt(s) =sqrt(2g).dt ; soit après intégration :

s = 1/2 . g t² : évidemment le même résultat.

Ceci dit, Galilée ne sût jamais faire ce raisonnement ! Car il n'admettait pas le calcul "à la Cavalieri" (le calculus d'aujourd'hui!).Torricelli, élève d'abord de Castelli, puis de Cavalieri, n'avait pas ces scrupules et a dépassé le Maître. Il faut d'autre part reconnaître que Galilée n'avait pas tort, du point de vue mathématique : l'équation différentielle n'étant pas de Cauchy-Lipschitz, la solution n'est pas unique : il y a en effet x= 0 comme solution ! Mersenne soutenait Galilée, en cette occasion.

Exemple classique

Il convient de bien faire la distinction entre v(t) et v(s), et souvent les jeunes enfants s'y laissent prendre:

Pierre fait le chemin aller de A à B (AB = 10km) à la vitesse de 12km/h. Au retour, plus fatigué, il court à 8 km/h. Question: arrivera-t-il avant ou après Jacques qui court l'aller-retour à 10km/h?

La réponse est: Pierre arrive après Jacques; en effet il a couru moins d'une heure à 12km/h et plus d'une heure à 8km/h, donc sa moyenne de vitesse est inférieure à 10km/h.

Ce raisonnement qualitatif est à bien maîtriser: la moyenne harmonique de vitesse est toujours plus petite que la moyenne arithmétique (cf moyenne).

Isomorphisme

Remarque : Il faut bien comprendre qu'en cinématique, le problème se réduit à résoudre 2 équations différentielles simple : v= f(t) et v = g(x) et il convient de ne pas les confondre. Il n'est pas très évident au départ de passer de l'une à l'autre.

Reprenons l'exemple de Galilée d'accélération constante , disons ao. On en déduit v(t) = ao t + v(0) = f(t), puis x(t) = F(t) où F(t) est primitive de f(t. En éliminant t entre v=f(t) et x=F(t) , on aura la relation v = g(x), ici v²(x) -v²(0) = +2ao (x-x(0)), soit v = g(x) = sqrt(2ao.x), dans le cas le plus simple.

De même, si on a v = g(x) alors dt = dx/v = dx/g(x) et soit un primitive H(x) de cette fonction ; alors on peut en déduire x(t)= F(t) puis v= g(F(t))= f(t) [qui se trouve être égal à F'(t), certes!].

Mais il est vrai que si ces deux cheminements sont exacts, techniquement ils seront plus ou moins faciles à réaliser.

Alors intervient là une notion capitale : Descartes a dit : commence par le plus simple ; puis va par ordre de difficulté croissante. Donc , on commence par v = gt ou v = sqrt(2gx); et l'une des résolutions aide l'autre éventuellement.

Descartes a d'autre part dit : peu importe les lettres d'un problème. Si on sait résoudre dx/dt = sqrt(2gx), on sait aussi résoudre ${\frac {d\aleph (\kappa )}{d\kappa }}={\sqrt {A_{0}\cdot \kappa }}$ ; ce sera $\aleph ^{2}=2A_{0}\cdot \kappa +cste$ ,sous la simple réserve de savoir que $\kappa ->\aleph (\kappa )$ est une fonction réelle C1 de la variable réelle. S'habituer à changer les lettres d'un problème est une bonne habitude à prendre. Depuis le CM2 , les élèves sachant réciter leur table de Pythagore en anglais ou en grec , ont pris de l'avance sur leur petits camarades.

Voici un exemple vécu sur lequel ont achoppé beaucoup d'élèves (même des bons) :

résoudre ${\frac {d^{2}\theta }{dx^{2}}}+e^{\theta }=0$ .

Beaucoup ont déclaré : on ne sait pas faire !

Alors même que l'exercice ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+e^{x}=0$ avait donné 80% de succès !

Évidemment un correcteur ne sait que dire ! il constate ! l'équation du second degré b y²+ cy +a =0 est plus dure à résoudre , paraît-il ! Le constat est là . Tout professeur qui n'explique pas longtemps tout cela aux élèves faillit à sa mission. Il est logique après d'en récolter les fruits amers.

(Exemple relativiste de Bertozzi)

cet exemple est de niveau nettement plus élevé et peut être sauté en première lecture.

C'est la modification en relativité restreinte de l'exemple de Torricelli. On ne s'étonnera point de ce que, au début du mouvement, le résultat soit voisin de celui de Torricelli, mais qu'à la fin du mouvement, v reste limitée par la vitesse-limite c.

L'expérience fut réalisée par Bertozzi et donna les résultats escomptés par la relativité restreinte avec une précision remarquable.

v(z) est donnée par l'équation [ dite théorème d'énergie cinétique d'Einstein] :

${\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}=mc^{2}+mgz$

On en tire v(z), et il "ne reste plus qu'à faire" les calculs : on conseille d'utiliser la méthode graphique ou numérique; mais ceux qui possèdent plus d'habileté mathématique retrouveront les expressions suivantes :

*z = c²/g(sqrt[1+(gt/c)²]-1)  
*dz/dt = v(t) = gt/sqrt[1+(gt/c)²]

qui satisfont l'équation précédente dont la solution était unique : c'est donc la bonne (c'est un bon exercice de terminaleS de le vérifier, si on sait manier les dérivées).

Que constater ? si gt/c <<1, v= gt et z = 1/2gt² : Galilée avait raison.

Mais si t devient grand devant c/g, v sature à la vitesse-limite c et

x = ct -c²/g + O(c²/gt): Einstein a raison : la particule ne peut pas être plus loin que ct.

Note: les Gens Savants auront reconnu que si on pose la "rapidité" r [telle que v = c th r] , alors c'est la rapidité qui croît linéairement r = g.T avec le temps "propre" T , ce qui est conforme au principe de relativité galiléenne (il suffit de raisonner à chaque instant t dans le référentiel galiléen tangent : cette solution en effet très élégante est d'Einstein lui-même !)

On constate que t = c/g sh gT/c [remarque: T(t), fonction monotone de t, est donc une échelle de temps ; c'est le grand mérite d'Einstein et de Poincaré d'avoir fait réfléchir profondément sur cette notion des différentes échelles de temps] ; et donc au bout de T = 3c/g , t = ~ c/2g exp gT/c , c'est à dire que l'horloge de la particule ralentit énormément T~ c/g Ln (2gt/c)

enfin on peut vérifier que z = c²/g [ch(gT/c) -1]

Ainsi va le monde un peu étrange des particules rapides : c'est vérifié des milliers de fois dans les accélérateurs; Einstein a simplement amélioré Galilée et Newton : la Relativité Restreinte est une réalité, banale pour qui voyage à une vitesse proche de c .

Et voici plus SPECTACULAIRE :

la démonstration de Torricelli continue donc de marcher, c'est ce qu' a affirmé Einstein : quand la particule, au temps to, a la vitesse v(to)= g.to/sqrt[1+(g.to/c)²], à la position z(to) = c²/g(sqrt[1+(gto/c)²]-1), Torricelli dit : ceci est "comme rien" dans le référentiel de vitesse v(to); je peux donc écrire dans ce référentiel V= gt' et Z = 1/2 g t'²; et ceci est exact !

mais attention ! dans la cinématique d'Einstein, l'intervalle de temps t' apparaît comme un intervalle dilaté : t = t'/sqrt(1-v(to)²/c²) ET D'AUTRE PART la formule d'addition des vitesses est légèrement changée en relativité restreinte : [v(to) ^+^ V] vaut en fait [v(to)+V]/(1+v(to).V/c²), soit ici puisque V est très petite : v(to)+ V(1- v(to)²/c²) + ... = v(to) + gt (1-v(to)²/c²)^3/2 :

Torricelli (-corrigé par Einstein-) trouve donc que v(to+t)-v(to) = gt .(1-v(to)²/c²)^3/2 pour t très petit (devant c/g!): c'est donc écrire dv/dt = g (1-v²/c²)^3/2 , ce qui redonne en intégrant , merveille : v(t) = gt/sqrt(1+g²t²/c²), soit le résultat escompté!

Torricelli, je pense, aurait tiré son chapeau devant Einstein :

le principe de Relativité de Galilée continue de marcher !

mais avec une condition supplémentaire qui fait toute la beauté de la relativité restreinte : la contrainte [v < c toujours] a bouleversé la cinématique de Newton de fond en comble. Nous verrons plus tard que la théorie d'Einstein est pourtant la plus simple qui soit, compte-tenu de cette contrainte.

Conclusion-Résumé

Cette leçon n'apporte pas grand-chose du point de vue physique; mais évidemment du point de vue philosophie-naturelle, lorsque le temps était représenté par une longueur sans unité, ce fût "une prise de tête" considérable pour distinguer ce qui nous semble évident aujourd'hui: v= f(t) et v= g(x) et donc écrire :

$x(t)=\int _{0}^{t}f(u)du$ ET $t=\int _{0}^{s}{\frac {1}{g(x)}}dx$

En fait, cela a pris quelques dizaines d'années après que Galilée et Cavalieri aient commencé à y réfléchir ET bien sûr, la magnifique notation de Leibniz a contribué à bien l'assimiler. Il faut par exemple lire le traité "de la Roulette" par Pascal, qui est d'une beauté extraordinaire, mais qui montre à quel point un homme même extraordinairement intelligent reste limité par un manque de notation (ici le calculus!).

On verra dans la prochaine leçon-6 (plan de phase)que l'équation dx/dt = g(x) est très commune et qu'il convient de bien savoir " l'intégrer".

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[aparté:Par contre, pour passer à la relativité restreinte, il a fallu qu'expérimentalement des particules commencent à avoisiner la vitesse c : dans le monde astronomique, cela n'a pas été le cas dans le système solaire ; donc on ne s'en est pas préoccupé, durant deux siècles].

Aujourd'hui, on sait même qu'il existe des trous noirs dans Notre Galaxie. L'astrophysique relativiste est un savoir nécessaire.

Mais il est clair que ce sont des geganken-chefs de gare regardant passer des gedanken-trains qui ont guidé Einstein, à partir du moment où il voulait résoudre ce paradoxe : v < c toujours ! fin d'aparté]

Exercices

Heureusement , les exercices ne sont pas tous du niveau de l'exemple de Bertozzi!

En voici de plus faciles, tous fondés sur la loi de Torricelli : sur une courbe située dans un plan vertical , où se déplace une perle sans frottement, la perle ne peut jamais remonter plus haut que le point de vitesse nulle, et si on part de ce point, v² = 2g h(s), quand la particule descend de h. Nous avons déjà traité certains de ces cas dans la leçon plan-incliné. Plus généralement, et écrit un peu différemment compte-tenu du concept d'énergie cinétique et en orientant l'axe des z vers le haut, le principe de Torricelli , repris par Huygens , s'écrit :

{\frac {1}{2}}mV^{2}+mgz(s)=cste

Enoncé : loi de conservation énergétique de Torricelli(1608-1647)

Exercice-vallon

Une perle se déplace sur une ligne horizontale sans frottement avec la vitesse Vo ; elle glisse alors dans un vallon demi-circulaire de rayon R , au point A et ressort au point B , 2R plus loin avec la même vitesse Vo (on suppose bien sûr que les virages ont été alésés!). A-t-elle gagné ou perdu du temps ? Ceci reste-t-il vrai pour toute forme de vallon?

Solution-vallon

Le puits étant symétrique, il faut et il suffit de savoir si le temps de remontée T est supérieur à R/Vo . Or à la remontée la vitesse v(s) vaut sqrt[ Vo²+2g cos (s/R)] . Le problème se ramène donc à savoir si : $\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}d\theta \cdot {\frac {1}{{\sqrt {(}}1+kcos\theta )}}>1;avec,\cdot k=2gR/V_{o}^{2}$ .

La réponse est donc : si la perle va vite (k < 1), alors elle est retardée (minorer par k=1 donne sqrt(2) .Ln(1+sqrt(2) qui est plus grand que 1 . Par contre si k est très grand, c'est à dire à la limite, si la particule tombe dans le vallon avec une vitesse quasi-nulle , elle mettra une demi-période pendulaire pour arriver sur l'autre bord , ce qui sera beaucoup moins que 2R/Vo :

conclusion : il y a une vitesse critique Vo pour laquelle c'est équivalent; au-delà la perle perd du temps.

Exercice- monticule de Huygens

Même exercice que précédemment mais la perle doit escalader un monticule en forme d'arche de cycloïde (là encore les coudes ont été alésés): bien sûr Vo > sqrt(2ga).De combien retarde-t-elle?

Solution monticule de Huygens

Là , c'est clair, elle monte la cote plus lentement sur un chemin plus long : il y a retard sur la moitié. Le retard double sur l'autre moitié. Le calcul est aisé si Vo est très grand : il suffit de dire que V =~Vo tout le temps , et donc que le retard est [L-2Pi.a]/Vo et la longueur de l'arche d'une cycloïde est le problème de Pascal-Dettonville : L = 8a . Soit retard = (8-2Pi).a/Vo . Si Vo = sqrt(2ga +eps) , le retard peut être aussi long qu'on veut.

Exercice crucial du code de la route : la distance de freinage

Quand les pneus ne dérapent sur de l'huile ou du verglas, ils ont été calculés pour donner la meilleure adhérence possible avec l'asphalte. néanmoins au mieux , la décélération ne peut dépasser 0.6 g. Compter un quart de seconde(soit to) le temps d'appuyer sur le frein , et calculer la distance d'arrêt .

distance de freinage

Soit Vo la vitesse initiale de la voiture, la voiture parcourt Vo.to + Vo²/(1.2 g). Application numérique: à 144km/h , soit 40m/s , Voto fait 10m. et le deuxième terme fait 400/3 =399/3 = 133 m !

la mort d'Ayrton Senna

Le grand pilote Ayrton Senna a heurté à 288km/h un poteau bordant la piste: on peut estimer la durée du crash à 1 seconde . La cervelle est molle et se déforme à 4.g .La tête des conducteurs est assez bien fixée dans le cockpitt. Montrer qu'on a retrouvé Senna sur son siège, la cervelle ayant pressé sur les orbites oculaires.

Montrer qu'un crash à 144km/h a similairement opéré sur Albert Camus.

Montrer que une voiture "pliable" + un air-bag , permettant un "amorti en 2s ", l'aurait peut-être sauvé.

réponse

c'est trop simple ! réduction de 80m/s en 1s , cela fait 8g. Le crâne ne bouge pas , la cervelle oui. A 4g , c'est le fameux voile noir sur les yeux;

pour Albert Camus , les tractions avant de l'époque étaient plutôt rigides et c'était l'habitacle qui ne l'était pas . De nos jours, l'habitacle très rigide écrase "doucement" l'avant ; les air-bags font le reste , dans la mesure du possible.

Évidemment on ne peut pas rendre l'habitacle rigide et bien "encaisser" les chocs latéraux.Il faut absolument que la voiture ne dérape pas de manière inégale avec un frein avant puissant et déséquilibré: les révisions des freins , c'est une nécessité. L'alcool et le shit c'est une affaire de civisme.

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